Nein, Ledger Live kann keine ADA verwalten. Du siehst die ADAs auf deinem Ledger nur in Daedalus, Yoroi oder Adalite. Bei letzterem muss der Ledger immer angeschlossen sein, damit du deine Wallet siehst.
Diese Art von Staking kann man auch als Cold Staking bezeichnen und sie ist von allen Varianten die sicherste. Während du stakest verlassen die ADAs niemals deine Cold Wallet, d.h. den Ledger.
Das wird mit jedem Update schlimmer, ja. Aber auf dein Staking hat das keinen Einfluss. Du brauchst ja nur die Cardano App.